Ansys Zemax | 利用 Kogelnik 方法模拟体全息光栅的衍射效率

全息本文介绍了OpticStudio 21.1中新的原生体全息模拟功能，此功能考虑到全息光栅的物理特性，在序列模式下对其进行全面模拟和分析。同时，也示范使用现有DLL在非序列模式下展示相同的功能。这些分析对于设计虚拟现实（VR）和增强现实（AR）的头戴型显示器（HMD）和抬头显示器（HUD）等系统非常重要。 

本文解释了模型中使用的理论和参数，并介绍了5个系统范例。

序列模式的体全息在OpticStudio的所有版本上都可以使用，但是衍射效率分析只有订阅制才能使用。DLL是订阅制旗舰版本的功能。

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简介

体全息在许多类型的光学系统中很受欢迎，例如：抬头显示器（HUD）、增强现实（AR）和虚拟现实（VR）的头戴式显示器（HMD）。全息能够将光线衍射到任何所需的角度，其波长和角度的选择性使其能够创造更轻、更紧密的光学系统。

OpticStudio长期以来一直支持理想全息的模拟。然而，为了准确地说明体全息的特性，除了考虑衍射光线的传播方向外，还必须考虑衍射效率、材料收缩或折射率变化等因素。考虑衍射效率使用户能够进行图像模拟和综合优化等高级分析。

表面浮雕光栅与体全息光栅的比较

在介绍这个模型之前，我们先简单解释一下表面浮雕光栅（SRG）和体全息光栅（VHG）的区别。这两种光栅在光学系统中的作用几乎是一样的，但在制造和模拟方面却有很大的不同。

图 1. （a） 表面浮雕光栅 （b） 体全息光栅

• 图1（b）所示的VHG是通过在感光材料薄膜上曝光两个或多个光束来制造。然后将薄膜进行化学或热显影：这就是光栅。光栅上的表面是光滑的，但光栅内部的折射率是正弦调变的。为了对VHG进行建模，需要使用高效的Kogelnik理论或严格耦合波分析（RCWA）等算法。

• 图1（a）所示的SRG，可以通过几种方法制造，如电子束写入，光刻，纳米压印，或钻石车削。与VHG不同，SRG没有空间变化的折射率。相反，光栅的表面是由周期性的微结构组成的。为了对SRG进行建模，需要采用类似傅里叶模态法（也叫RCWA）的算法。

本文将介绍VHG的工具。

关于SRG的工具，请参见文章“ZEMAX | 利用RCWA方法模拟表面浮雕光栅的衍射效率”。

耦合波理论

我们来回顾一下耦合波理论，它主要用于体全息光栅模型。

考虑一个简单的情况，即一个法向量的全息平面被两个波长相同的平面波照射，沿波向量nk1和的方向传播。平面波在穿过全息时，首先受到司乃耳定律的折射，在全息内有新的波矢量k2k1'和'（图2（a））。然后，光栅矢量可由下式定义：k2

显影后，当全息被重建平面波照亮时，衍射波，可通过解方程式确定：kpkd

其中和是重建波向量和全息感光材料内部的衍射波前（图2（b））。注意光栅向量可以从两个反向方向选择。方程式（2）的符号约定，假设K的方向选择满足>0。kpkdKK.kp

图 2. （a） 两道建构光束折射到全息材料中 （b） 重建光束折射到体全息中

现在，我们考虑在全息中，由正弦调变来表示折射率n和α，如方程式（3）。

其中为平均折射率，为折射率的振幅调制，为光栅矢量。n0n1K

透射和反射全息的衍射波和穿透波的TE（横向电场）的偏振电场可以用以下4个公式计算。注意，在这个理论中，能量被假设为只在入射波、零阶（直射波）和一阶衍射波之间交换。若要消除这个限制，需要严格耦合波分析理论。

对于TM（横向磁场）极化，我们可以简单地将替换为κκ断续器，如下所示，仍然使用前面的公式。

在锥形衍射的情况下，入射光线不垂直于光栅，偏振特征态定义如下：

图3.全息在Kogelnik的耦合波理论中，全息被认为足够厚，每条入射光线要不是直接以0阶通过，不然就是1阶绕射，对于反射和透射的全息都是如此。

假设和限制

Kogelnik 的耦合波理论与其他理论相比具有优势，可以准确预测体积相位光栅的零阶和一阶效率的响应。然而，当厚度较低或折射率调变（modulation）较大时，这种准确性可能会降低。因此，有必要讨论Kogelnik理论的适用范围，供用户参考。

• 折射率调变：与平均折射率相比，折射率调变不能太大。换句话说， ，这在大多数实际情况下是正确的。一个参考用的经验法则是，对于反射全息，之比不应大于0.16，对于透射全息，之比不应大于0.06。[2]n1/n<< 1n1/nn1/n

• 厚度：假设全息是厚的。经验上，我们是确保以下条件来保证耦合波理论仍然适用：

• 多阶衍射：这与厚度的限制相同。对于厚的全息，输入光线的能量将只转移到直接穿透的0阶波或绕射的+1阶波上。对于薄的全像，其他衍射阶数的效率可能不为零，如-1 -2 +2 -3 +3 ...。这些额外阶数不在耦合波理论的考虑中。

• 多重光栅 （multiplex）：全息中只能同时存在一组光栅。Kogelnik的方法不允许多于一个光栅重叠在一个区域。

• 双折射材料：全息的材料被认为是均向性的。不允许使用双折射材料。

请注意，这些限制可以通过使用不同的算法来消除。如果您的全息需要破除这些条件，请联系工作人员获得技术支持。

膨胀/ 收缩

在本节中，我们将介绍如何考虑全息的膨胀和收缩。

在加工时，全息材料可能会改变其厚度。为了考虑厚度变化的影响，我们首先将光栅矢量分成两个分量，K∥和K⊥，其中K⊥為垂直表面法線，K∥与表面法线平行。如果厚度从t到t'发生变化，则可以通过修改K∥计算出新的光栅矢量，如方程式（4）。

图 4. 当全像材料收缩时，厚度从t 减少到 t'

如何在序列模式下进行设置

I在本节中，我们将介绍如何在序列模式下设置全息。同时也讨论了需要注意的事项。要在序列模式下添加体全息，我们可以使用4个全息表面中的任何一个。Hologram 1、Hologram 2、环形Toroidal Hologram、Optically Fabricated Hologram。各个曲面的体全息参数的完整细节请参见O pticStudio 帮助手册。在本范例中，我们将使用 Hologram 2 曲面，其参数如下所示。

图 5. 镜头数据编辑器中的Hologram 2 表面参数

在这些参数中，Construct X1、Y1、Z1、X2、Y2、Z2和Construct Wave控制了建构光束的位置和波长。有关这7个参数的更多信息，请查阅文章“ZEMAX | 如何在 OpticStudio 中建模全息图”.

其他参数的含义如下。

• Diffract order：这个参数只有当表面是一个透射全息时才有效。当它为0时，我们追迹直接穿透的0阶，当它为1时，我们追迹衍射的1阶。请参阅 “ZEMAX | 如何在 OpticStudio 中建模全息图” 来了解如何区分透射和反射全息。请注意，在非序列模式的衍射DLL中没有这个参数，因为我们同时追迹0阶和1阶 order。

• Volume Hologram：定义面型是体积还是薄全息。当等于0时为 False，如果等于任何非零整数则为 True。这里我们将它设为 1，因为我们要模拟的是体积全息。

• Hologram Thickness：这是全息材料的厚度。请注意，这个厚度是虚拟的，只用于计算衍射效率。在光线追踪过程中，光线只能看到一个无限薄的表面，就像其他衍射表面一样。

• n1 & n2：两个参数是建构光束进入全息之前所处材料的折射率。n1代表建构光束1，n2代表建构光束2。请查看下面的章节以获得更多关于这两个参数的说明。

• n：全息材料的平均折射率。这与上面Kogelnik文献中描述的 “n0” 相同。

• dn：折射率的调变。这与Kogelnik文献中描述的 “n1” 相同。

• Shrinkage：显影后全息的厚度变化。如果它是 0（默认值），则没有收缩。如果不是0，则代表对厚度的缩放值。例如，0.98表示收缩率为2%。

• Index Shift：全像的平均折射率在显影后的变化。

• Consider Fresnel？：如果设置为1，则考虑菲涅尔损失。将此设置为0则关闭对菲涅尔损失的考虑。如果用户想用自己的代码来验证计算结果，这很有用。

注意当材料是MIRROR时，你应该在体全息表面增加一个镀膜I.0，当材料不是MIRROR时，应该增加一个镀膜I.99999999（八个9）。全息表面假设没有镀膜，模型中内部考虑了菲涅尔损失的影响。

图 6. 镜头数据编辑器中的材料和镀膜参数。

如何在非序列模式下进行设置

在本节中，我们将介绍如何在非序列模式下设置全息。同时也会讨论需要注意的事项。

要在非序列模式中添加一个体全息。我们可以使用衍射光栅（Diffraction Grating）或User Defined Object 并选择DiffractionGrating.dll。目前此DLL不支持其他衍射对象，其假设衍射面在XY平面。

当全息胶片的形状为圆形时使用衍射光栅，当全息胶片的形状为矩形时使用User Defined Object 加上DiffractionGrating.dll。如果全息膜的形状既不是圆形也不是矩形，则可以使用对象Boolean Native或Boolean CAD组合，再加上对象Extruded，就可以构建任意所需的形状。

在Object Properties... Diffraction中，我们添加了DLL hologram_kogelnik.dll。每个参数的含义与序列模式相同。反射部分和穿透部分的参数总是相同的。对于这个DLL，我们必须将 Start Order 设置为 0，Stop Order 设置为 1，理由在前面理论假设部分有说明。

还有一个参数 “Ig. Geo.Err.“，只有在非序列模式下才会显示。如果这个参数被设置为非零，当衍射光束不存在时，DLL将不会返回几何错误。当光线在远离布拉格的条件下击中全息时，可能会发生这种情况。

请注意 “ Ig. Geo．Err." 这个参数是针对非序列DLL的。如果这个参数设置为1，当DLL返回任何几何错误时，DLL将显示更多的信息。这对测试系统很有用，可以知道为什么会发生几何错误。该消息只对DLL检测到的第一个几何错误显示一次。如果要对任何进一步的几何错误显示更多信息，请将此参数设置为0，然后再设置为1。

图 7. 用户自定义对象的衍射设定

当使用这个全息DLL，衍射面（Face 1）上的镀膜应该始终为None。

图 8. 用户自定义对象的镀膜设定。

必须勾选 “Split NSC Rays”，这样衍射DLL才会执行。

图 9. 在光线追迹和NSC3D布局图中勾选“Split NSC Rays”

如前面所述，全像总是被认为是无限薄的。光线和全息之间的所有相互作用只发生在面1，也就是衍射面，并由它来处理。

图 10: 布局中所看到的全像

提示:您可以编写一个ZPL来填充MCE中的所有参数，并在Reflect和Transmit之间取值，附件中提供了ZPL的范例。

图 11：ZPL 提取参数到多重结构编辑器

常见问题

在本节中，我们将讨论一些常见问题。

关于全息两边环境的折射率

当全息外的折射率改变时，全息的行为是不同的。例如，在下图中（图12），我们在左边和右边有完全相同的全息片，但可以看到它们向不同方向衍射光线。左边的全息片是漂浮在空气中的，而右手边的全息片是贴在玻璃上的。可以看到，在两种不同情况下，光线会衍射到不同的角度。因此，检查全息两边的材料是否设置正确是很重要的事。

图 12. 空气和玻璃中的全息片

关于参数n1和n2

参数和代表全息外材料的折射率，是建构光1看到的折射率，是建构光2看到的折射率。如果在建构阶段，两道建构光束来自不同侧，那么和可能会有所不同，如下图所示。n1 n2 n1n2n1 n2 

图 13. 两道建构光束来自不同侧

另一方面，在建构阶段，如果两道建构光束来自同一侧，那么将与相同，如下图所示。n1 n2 

图 14. 两道建构光束来自同侧

如果您不确定 “建构光束” 的定义，请参见 “如何在OpticStudio中建模全息图” 了解更多信息。

请注意，如果设置不正确，全息的行为将不正确。这跟我们在现实世界中如何建构全息有关。例如，在录制全息的时候，我们可能会在全息的一边放上一个棱镜，然后在回放的时候把棱镜去掉，如下图所示。在这种情况下，和应设置为棱镜和波导的折射率。n1n2n1 n2 

图 15. 建构和回放过程

如果全息来自供应商怎么办？

有时候我们并不是真的自己制作全息，而是从供应商那里购买的，所以我们可能并不了解它的所有细节。在这种情况下，我们可以用给定的规格建立一个假的建构系统。请看 “非序列范例3” 的例子。

关于衍射阶数

在这里的范例中，我们总是只有0阶或1阶衍射。

根据Kogelnik的理论，当一个波入射到全息光栅上时，假定只有两个重要的出射光波存在。它们是直接通过的穿透波和衍射波。在OpticStudio的内建全像和实验DLL中，我们总是将直接通过的波视为0阶，而将衍射波视为1阶。

因此，在非序列系统设置中，Start Order和Stop Order应该始终为0和1。不过其实我们也可以可以设置Start Order = Stop Order = 0或Start Order = Stop Order = 1。在这种情况下，意味着我们在模拟中有意忽略1阶或0阶。

串行模式示例 1

在这个范例中，我们演示了如何快速检查全息上不同入射角的衍射效率。首先，我们打开附件中的native_vhg_kog_seq_example1.zar。在这个文件中，设计了一个全息，将45度的入射准直光束衍射和聚焦到远处。

图 16. 布局途中的全像范例

建构系统的参数设置如下

图 17. 镜头数据编辑器中的全息建构参数

这意味着构建系统如下图所示。请注意，我们是如何将光源1设置在非常远的点（实际上是无穷远）来模拟准直光束的。

图 18. 系统的初始设置

Hologram 2面假设一个建构光束收敛到一个建构点（光束2），另一个建构光束从另一个建构点（光束1）发散。然而，由于构建系统的互易性，这与光束1为收敛光源，光束2为发散光源的情况是等效的。在这种情况下，我们可以画成如下图。

图 19. 以相反方向建立的同一系统

如下图所示，STOP设置在全息表面之前，厚度为零。这样一来，我们就可以确保主光线总是击中全息的中心。

图 20. 镜头数据编辑器中的STOP位置

在范例文件中，有一个效率与角度的对比图，我们使用Kogelnik方法计算了与主光线入射角相关的衍射效率。在The Analyze Tab... Polarization and Surface Physics... Diffraction Efficiency... Efficiency vs. Angle 可以找到。设置如下图所示。

图 21. 效率与角度对比图设定

请注意，入射光现的偏振状态是在System Explorer... Polarization中定义的。在这个文件中，我们设置 （Jx， Jy） = （1，0） 为TE偏振。

图 22. 系统资源管理器下的偏振设置

下图显示这一个分析工具的结果：

图 23. 在效率与角度图中，y轴代表绕射效率，x轴代表主光线入射角

串行模式示例 2

我们来看一个更复杂的波导设计。首先，打开附件中的 native_vhg_kog_seq_example2.zar。在“模拟 AR 系统中的全息光波导：第一部分”中介绍了系统的设计方式。在这里，我们主要分析考虑衍射效率与新功能的效果。

在这个文件中，建构光束1设置在一个非常远的点（0，-1E8，-1.35E8）。这意味着它是一个沿向量（0，-0.6，-0.8）方向传播的准直光束。建构光束2设置为（0，18.66，-45.12），这意味着它是一个汇聚光束，汇聚到点（0，18.66，-45.12）。

图 24. 镜头数据编辑器和布局图中的系统初始设置

两个建构光束的波长为0.55 μm。在建构过程中，全息两侧的材料都是亚克力，因此我们将n1 = n2 = 1.493581（压克力在波长0.55 μm时的折射率）。

图 25. 镜头数据编辑器中全息的参数 

此文件中有两个图像模拟分析。它们具有相同的设置，但其中一个已勾选“使用偏振 （Use Polarization）”，而另一个未勾选。

图 26. 图像模拟中的设置

为了查看考虑全息衍射效率的效果，必须勾选“使用偏振”。我们可以在以下图像中清楚地看到效果。勾选“使用偏振”时，模拟图像的顶部和底部边缘较暗。

图 27. 图像模拟nalysis

非序列模式范例 1

本范例与序列范例1类似，只是我们在非序列模式下分析。系统保存在附件vhg_kog_nsc_example1.zar中。在这个档案中，全息是由一个User Defined Object 读取DiffractionGrating.DLL设置的。这个用户定义对象DLL允许其面1为衍射面。

设置如下。注意，我们应该将起始阶数设置为0，停止结束设置为1，因为我们使用的理论只考虑两个耦合波。

图 28. 用户定义对象的衍射设置

为了计算衍射效率，添加了一个Detector Polar以接收衍射光线。

图 29. 整个系统的布局图

在优化函数中，计算衍射效率并使用操作数NSDP报告（图30）：

图 30. 优化函数编辑器

Universal Plot显示优化函数作为光源入射角的函数

图 31. Universal Plot 设置

Universal Plot 的结果如下图。

图 32. 在Universal Plot中，Y轴代表优化函数数值，X轴代表光线入射角

非序列模式范例 2

本示例与序列范例2中分析的系统类似。不同的是我们在非序列模式下重建系统，进一步优化系统以达到图像照度均匀，并增加两个全息光栅，使其支持彩色结果。系统附件档案为vhg_kog_nsc_example2.zar。

在下图中，可以清楚地看到3个全息对象（对象10、11、12）在波导上的堆叠情况。这些全息除了建构光束的波长（参数Wave）和相应的折射率（n1和n2） ）外，其他参数都是一样的。

请注意，我们仔细考虑了嵌套规则（ nest rule），因此在两个全息之间或全息和波导之间的每个边界，在两个面重叠的地方，光线都可以正确看到衍射面。在这个档案中，对象10、11、12的衍射面都在靠近波导的一侧。换句话说，在-z侧。

图 33. 系统布局图和三个全息对象的细节

关于嵌套规则的更多讯息，请持续关注公众号即将更新！

关于这个例子的更多讨论可以在参考文献[3]中找到。模拟图像如下图所示，可以看到折射率偏移或全息收缩对图像的影响。

图 34. 多色设计的图像模拟和系统的三维阴影模型

非序列模式范例 3

在这个例子中，我们假设全息不是我们自己制作的而是买的。假设供应商提供了以下规格。

• 全息类型：穿透

• 设计波长：632 nm

• 输入角度：30 度

• 出口角度：7 度

• 厚度: 7 mm

• 平均折射率: 1.5

• 调变折射率：0.00005

• 该器件被设计用于：空气中

由于我们不知道全息的具体制作方法，所以我们需要根据给定的规格，用一个虚拟的建构系统来建构它。

要做到这一点，首先，我们需要将输入和输出角度转换为向量，如下图35所示，这样我们才能正确定义系统。

注意，如果需要的话，y轴可以用x轴代替。这要看系统中全息对象如何放置和旋转会更为方便。但是，z轴不能用其他轴代替，因为DLL模型假设全像表面在XY平面。

图 35 YZ平面上的入射与出射向量

F根据规格和上图，我们可以计算出v在向量為（0，-sin（7deg），-cos（7deg）），v外向量为（0，-sin（30deg），-cos（30deg））。因此，建构光束的参数可以设置如下：

• 全息型 = 1

• X1 = 0

• Y1 = 1E9*（-正弦（7 度）） = -0.121869E9

• Z1 = 1E9*（-cos（7 度）） = -0.992546E9

• X2 = 0

• Y2 = 1E9*（-正弦（30 度）） = -0.5E9

• Z2 = 1E9*（-cos（30 度）） = -0.866025E9

以上计算中乘上1E9代表无限大，用来设定准直建构光束。

需要注意的是，如果 Holotype 设置为2，则（X1，Y1，Z1）或（X2，Y2，Z2）其中一个需要乘以-1。

对于其余的参数，我们可以直接从数据表中获取。它们如下。

• 波长 = 0.633 μm

• 厚度 = 7 mm

• 调变折射率 = 0.00005

• 全息折射率 = 1.5

对于最后两个参数，其数值取决于全息的设计使用情况。在这个范例中，从规格书中我们知道全息应该是在空气中使用，而不是附加在任何基板上。因此，我们设置n1 和n2如下：

• n1 = 1.0

• n2 = 1.0

最后的设置和结果如下图所示，也可以在附件档案vhg_kog_nsc_example2.zar.中查看。

图 36. DLL的参数可以在多重结构编辑器中展开

图 37. 在Universal Plot中，y轴表示优化函数的数值，x轴表示光线入射角

值得提一下的是，在这个文件中，当替换Universal Plot时，我们使用了一个技巧; 开始和停止阶数都被设置为1，所以我们可以强制DLL只考虑1阶衍射光线，而忽略0阶直接穿透的光线。这个技巧有助于在Universal Plot中只看到单阶的衍射效率。

图 38.如果我们将起始阶数设置为0，停止阶数设置为1，那么0阶和1阶光线都会被追迹，如图所示

参考资料

1. 科格尔尼克，H.，“厚全息光栅的耦合波理论”，贝尔系统技术公司J.48，2909-2947（1969）。

2. Bjelkhagen，H.和兄弟顿 - 拉特克利夫，D.，超现实成像：模拟和数字彩色全息术的先进技术。CRC出版社， 2016.

3. 程汉祥，田晓超然，“一种先进的多色全息光学元件光线追踪模型”，SPIE 11188，全息、衍射光学及应用IX，1118817（2019年11月18日）;https://doi.org/10.1117/12.2537762

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